 Олексій Берест народився 9 березня 1921 року в бідній сім'ї Прокопа Никифоровича і Христини Вакумівни Берестів у селі Горяйстівці Охтирського району на Сумщині. В цього подружжя було шістнадцятеро дітей. У віці 11 років залишився круглим сиротою разом з вісьмома братами і сестрами.
У жовтні 1939 року пішов добровольцем у Червону Армію. Брав участь у боях на Фінській війні у складі 2-го полку зв'язку Ленінградського округу. Під час служби в особовій справі з'явилась подяка червоногвардійцю Бересту за врятування життя командира.
З 22 червня 1941 Олексій Берест воює проти Німецьких загарбників як зв'язківець, з 1942 — командир відділення. З грудня 1943-го по вересень 1944-го навчання в Ленінградському військово-політичному училищі. Після випуску був направлений на 1-й Білоруський фронт, де він потрапив у 756-й стрілецький полк 150-ї стрілецької дивізії. Його призначили заступником з політчастини командира батальйону, яким командував капітан С. Неустроєв. О.Берест брав участь у боях за Польщу, в боях на річці Одері, в боях за Берлін.
30 квітня 1945 року у боях за Рейхстаг Олексій Берест воював у 150-й стрілецькій дивізії у батальйоні капітана Неустроєва. Слід зазначити, що для кожної із дев'яти дивізій 3-ї ударної армії, які вели бої у центральній частині Берліна, виготовили прапори для можливого підняття їх над рейхстагом, проте саме прапор під п'ятим номером, що був переданий батальйону Неустроєва був встановлений на Рейхстагу.
В офіційній радянській історіографії зазначено, що Прапор Перемоги встановили сержанти М. Єгоров і М. Кантарія. Проте на основі звітів воєначальників керівництву Кремля можна зробити досить об'єктивні висновки про те, що серед героїв був Олексій Берест, і цей факт приховувався. Так, у протокольному документі тих років «Боевая характеристика знамени», підписаному командуючим військами 3-ї ударної армії, генерал-полковником Кузнєцовим та членом Військової ради армії генерал-майором Литвиновим, зазначено: «Отважные воины коммунист лейтенант Берест, комсомолец сержант Егоров и беспартийный младший сержант Кантария установили знамя над зданием германского парламента».
Отож 30 квітня о 14-ій годині 25 хвилин саме лейтенант Берест Олексій Прокопович та сержанти М.Єгоров і М. Кантарія підняли над Рейхстагом Прапор Перемоги.
На початку травня 1946 року вийшов Указ Президії Верховної Ради СРСР про присвоєння звання Героя Радянського Союзу офіцерам і сержантам, які підняли Прапор Перемоги над рейхстагом у Берліні — капітану В. Давидову, сержанту М. Єгорову, молодшому сержанту М. Кантарії, капітану С. Неустроєву, старшому лейтенанту К. Самсонову. Прізвища О. Береста там не було. Подальша доля О.Береста склалась драматично. В 1953 році, працюючи завідувачем райвідділом кінофікації, був звинувачений у збитках на 5,5 тисяч карбованців та засуджений до тюремного ув'язнення на термін 10 років. По амністії термін був скорочений вдвічі.
Повернувшись додому з пермських таборів, працював на заводі «Ростсільмаш» у крицеливарному цеху простим робітником.
Життя О. Береста трагічно обірвалось у 1970 році. Ввечері 3 листопада Олексій Берест врятував п'ятирічну дівчинку з-під коліс поїзда, проте сам був збитий і о четвертій ранку 4 листопада, не приходячи до тями, Олексій Берест помер.
Похований на кладовищі селища Александрівка,Ростов-на-Дону,Росія. 
Пам"ятник О.Бересту на Батьківщині, в м.Охтирка Сумської обл.: 
| 
